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人工衛星の軌道計算(アルマナック)

軌道計算のアルマナック

人工衛星の軌道計算をするにあたり、重要な考え方がアルマナックです。

今回はアルマナックを解説していきます。

人工衛星の軌道計算

人工衛星の軌道の概要は軌道半径で表されるようです。起動半径 r と角速度 ω は以下の関係にあるようです。

r3 = g・R2 / ω2

重力加速度 g は、g = 9.80665 m/s2
地球の赤道半径 R は、R = 6378137 m

静止衛星は地球の自転と同じ速さで回る必要があり、比較的遠い軌道を回ることになります。
1日で一周するのは ω = 2・π / (24・60・60) と考えれば r = 42,253.112km と計算されます。
地上から見て静止しているためには、赤道上空にあって、地球の自転と方向に進んでいなければなりません。
また、地球の自転周期は、約23時間56分4.06秒です。
3075m/s ぐらいの速さで進んでいることになります。

GPS衛星は、当初24個の衛星で、地表の同じ点で常に4つのGPS衛星の電波が受信可能なように設計されたようです。
単純には1つの衛星は6時間程度見えていることになります。したがって、GPS衛星も比較的遠いところを回っています。  GPS衛星の周期は11時間58分02秒です。

r = 26,569.300km と計算されます。3875m/s ぐらいの速さです。

これは概要で、実際の衛星は、地心を中心に真円を描いているのではありません。

  1. 地心は準拠楕円体の自転軸と赤道面の交点ですが、質量の中心とは限らないものと思います。
  2. 地表での重力方向は一点を指さないものと思いますが、人工衛星についても同様だと思います。
  3. 人工衛星軌道も楕円で近似され、地球は焦点の1つと見るようです。

大きく誇張して言うと、衛星軌道は楕円のようなイメージで捉えられています。
地球は衛星軌道の焦点の一方の位置にあり、衛星の位置は近地点との角度で表されます。
公転面は、地球の赤道面となす角と、交線の方向で表されます。

軌道を楕円と考えるので、長半径 a と短半径 b があります。アルマナックでは、a と離心率 e で表されます。b2 = a2・(1-e2) の関係にあります。
また、地球と軌道の中心との距離は a・e です。

平均近点角、真近点角、離心近点角

アルマナックの軌道情報は、基準となる時刻の衛星の位置を平均近点角で与えています。

平均近点角は図の γ です。∠NOU の 点U は、図では明瞭ではありません。
衛星は点P にあり、α(∠NFP) は真近点角と呼びます。
また、楕円の媒介変数表記のβ(∠NOQ)は、離心近点角と呼びます。

点Uは、扇形NOUが扇形NFQと同じ面積になるように定めます。
Fは楕円の焦点の1つだと考えられます。
扇形NOUの面積は、円の面積の γ / 2π です。
扇形NFQの面積は、扇形NOUの面積から、三角形QOFの面積を引いたものです。
扇形NOUの面積は、円の面積の β / 2π です。三角形QOFの面積は、線分OFの長さがa・e、高さが a・sin β なので、 (a・e)(a・sin β) / 2 です。
ここで、e は軌道となっている楕円の離心率で、アルマナックの軌道情報に含まれます。

中心の重なった軌道の長半径 a を半径とする円の面積を S とすると、
S(γ / 2π) = S(β / 2π) -(a・e)(a・sin β) / 2
S = π・a2
したがって、平均近点角 γ と離心近点角 βの間には γ = β – e・sin β の関係があります。
γ に応じた β の値は、
y = β
y = γ + e・sin β
の、交点となります。

アルマナック

GPS衛星が放送したり、JAXAが提供する、衛星軌道を計算するための情報は、アルマナック(almanac)と呼ばれます。

JAXAが提供しているアルマナックのファイルは、PRN-01 から PRN-32までのGPS衛星の情報が含まれています。
どの衛星も同じ項目からなります。

次に示すのは1つのGPS衛星のアルマナックの例です。

公転面上の軌道は、 長半径の平方根(SQRT(A))と離心率(Eccentricity)で与えられます。

衛星の公転面と地球の関係は、公転面と赤道面となす角「軌道傾斜角」、週始めにおける昇交点経度「Right Ascen at Week」、昇交点赤経の時間変化率(Rate of Right Ascen)で与えられます。

軌道上の衛星の位置は、Time of Applicability の時刻の衛星の位置で与えられます。
この時刻は、週初(日曜日の午前0時)を起点にした経過時間です。
この時刻に衛星は軌道上の平均近点角(Mean Anom)の位置にありました。

最後に

今回は、軌道計算の中でもアルマナックについて取り上げました。

人工衛星軌道計算の中でも重要な要素ですね。

最後までご覧いただきありがとうございました。